本文由晉（jin）江（jiang）文學城獨家發(fā)布，正常章節(jié)可下載【晉（jin）江（jiang）閱讀app】支持正版。千字三分，一章一毛，一月三塊錢，可輕易收獲正版光榮，捕捉逗比作者一只。
本文由晉（jin）江（jiang）文學城獨家發(fā)布，正常章節(jié)可下載【晉（jin）江（jiang）閱讀app】支持正版。千字三分，一章一毛，一月三塊錢，可輕易收獲正版光榮，捕捉逗比作者一只。
本文由晉（jin）江（jiang）文學城獨家發(fā)布，正常章節(jié)可下載【晉（jin）江（jiang）閱讀app】支持正版。千字三分，一章一毛，一月三塊錢，可輕易收獲正版光榮，捕捉逗比作者一只。
這些東西你們看得懂么，反正我是看不懂的(⊙o⊙)…
微積分的基本公式共有四大公式:1.牛頓-萊布尼茨公式，又稱為微積分基本公式2.格林公式，把封閉的曲線積分化為區(qū)域內的二重積分，它是平面向量場散度的二重積分3.高斯公式，把曲面積分化為區(qū)域內的三重積分，它是平面向量場散度的三重積分4.斯托克斯公式，與旋度有關。這四大公式構成了經典微積分學教程的骨干。
牛頓-萊布尼茨公式
基本簡介：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)f(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且萊布尼茨公式，這即為牛頓-萊布尼茨公式。理解:比如路程公式:距離s=速度v*時間t，即s=v*t，那么如果t是從時間a開始計算到時間b為止，t=b-a，而如果v不能在這個時間段內保持均速，那么上面的這個公式(s=v*t，t=b-a)就不能和諧的得到正確結果，于是引出了定積分的概念。
公式應用：那么如何在用積分得到上述路程公式呢
公式這個公式能表明路程s是每個不同速度時候行駛的時間和當前速度乘積的和。牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。下面就是該公式的證明全過程:對函數(shù)f(x)于區(qū)間[a,b]上的定積分表達為:
b∫a*f(x)dx
現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上限作為一個變量，這樣我們就定義了一個新的函數(shù):
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
但是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了:
Φ(x)=x∫a*f(t)dt
研究這個函數(shù)Φ(x)的性質:1、定義函數(shù)Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，則Φ與格林公式和高斯公式的聯(lián)系
'(x)=f(x)。
證明:讓函數(shù)Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函數(shù)增量
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
顯然，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x與xΔx之間，可由定積分中的中值定理推得，當Δx趨向于0也就是ΔΦ趨向于0時，ξ趨向于x，f(ξ)趨向于f(x)，故有l(wèi)imΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可見這也是導數(shù)的定義,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a)，f(x)是f(x)的原函數(shù)。
證明:我們已證得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)c=f(x)
但Φ(a)=0(積分區(qū)間變?yōu)閇a,a]，故面積為0)，所以f(a)=c
于是有Φ(x)f(a)=f(x)，當x=b時，Φ(b)=f(b)-f(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。
高階導數(shù)萊布尼茲公式
(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)
注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表后面括號及其中內容為上標，求xx階導數(shù)
格林公式
基本介紹：在平面區(qū)域上的二重積分也可以通過沿區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分來表示。
詳細介紹
折疊單連通區(qū)域的概念：設d為平面區(qū)域,如果d內任一閉曲線所圍的部分區(qū)域都屬于d,則d稱為平面單連通區(qū)域;否則稱為復連通區(qū)域。通俗地講,單連通區(qū)域是不含”洞”(包括”點洞”)與”裂縫”的區(qū)域。
折疊區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定：設是平面區(qū)域的邊界曲線,規(guī)定的正向為:當觀察者沿的這個方向行走時,平面區(qū)域(也就是上面的d)內位于他附近的那一部分總在他的左邊。簡言之:區(qū)域的邊界曲線的正向應符合條件:人沿曲線走,區(qū)域在左邊，人走的方向就是曲線的正向。
折疊格林公式：【定理】設閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
其中是的取正向的邊界曲線.
公式(1)叫做格林公式.
【證明】先證：假定區(qū)域的形狀如下(用平行于軸的直線穿過區(qū)域,與區(qū)域邊界曲線的交點至多兩點)
易見,圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區(qū)域給予證明即可.
另一方面,據(jù)對坐標的曲線積分性質與計算法有
因此
再假定穿過區(qū)域內部且平行于軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證
綜合有當區(qū)域的邊界曲線與穿過內部且平行于坐標軸(軸或軸)的任何直線的交點至多是兩點時,我,同時成立.將兩式合并之后即得格林公式
注:若區(qū)域不滿足以上條件,即穿過區(qū)域內部且平行于坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區(qū)域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區(qū)域,使得每個部分區(qū)域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯(lián)系,因此其應用十分地廣泛.
相關介紹：對坐標的曲線積分與路徑無關的定義
【定義一】設是一個開區(qū)域,函數(shù),在內具有一階連續(xù)偏導數(shù),如果對于內任意兩點,以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式恒成立,就稱曲線積分在內與路徑無關;否則,稱與路徑有關.定義一還可換成下列等價的說法若曲線積分與路徑無關,那么即:在區(qū)域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區(qū)域內沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關.
【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指,對于內任意一條閉曲線,恒有
折疊曲線積分與路徑無關的條件
【定理】設開區(qū)域是一個單連通域,函數(shù),在內具有一階連續(xù)偏導數(shù),則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式在內恒成立.證明:先證充分性在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區(qū)域全部在內.從而在上恒成立.由格林公式,有依定義二,在內曲線積分與路徑無關.再證必要性(采用反證法)假設在內等式不恒成立,那么內至少存在一點,使不妨設由于在內連續(xù),在內存在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有由格林公式及二重積分性質有這里是的正向邊界曲線,是的面積.這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內等式應恒成立.注明:定理所需要的兩個條件缺一不可.【反例】討論,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.這里除去原點外,在所圍成的區(qū)域內存在,連續(xù),且.在內,作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有
高斯公式
高斯定理，靜電場的基本方程之一，它給出了電場強度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內的總電量之間的關系。
高斯定理定義：通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數(shù)和與電常數(shù)之比。應用學科：電力（一級學科）；通論（二級學科）
折疊高斯定理:矢量分析的重要定理之一。穿過一封閉曲面的電通量與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。換一種說法：電場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為□□線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理
電場強度e在任意面積上的面積分
稱為電場強度對該面積的通量。根據(jù)庫侖定律可以證明電場強度對任意封閉曲面的通量正比于該封閉曲面內電荷的代數(shù)和，(1)
這就是高斯定理。它表示，電場強度對任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內電荷的代數(shù)和，與曲面內電荷的分布情況無關，與封閉曲面外的電荷亦無關。在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內的自由電荷的代數(shù)和。166閱讀網